MelansirHealthline, susu diketahui dapat meningkatkan kadar insulin sehingga dapat memperburuk keadaan kulit orang yang berjerawat. Susu sapi juga mengandung asam amino yang merangsang hati untuk memproduksi lebih banyak insulin 1 (IGF-1) yang jelas meningkatkan produksi sebum sehingga memicu timbulnya jerawat. 3. Makanan Cepat Saji jikamenemukan soal seperti ini maka pertama kita harus ingat terlebih dahulu misalkan kita punya persamaan matriks yang isinya adalah matriks A dikali matriks X B = matriks b maka matriks X itu sama dengan invers dari matriks A dikalikan dengan matriks B kemudian misalkan kita punya matriks A yang isinya adalah a b c d dan matriks B yang isinya adalah efgh maka invers dari matriks A itu adalah 1 atau terminal matriks A dikalikan dengan matriks yang isinya D min b min c dan a dengan Postingankali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.3 yang terkait dengan Sifat Kelengkapan Bilangan Real. Materi tersebut meliputi supremum dan infimum suatu himpunan. Soal-soal berikut diambil dari buku "Introduction to Real Analysis" oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert. b amati pola perkalian beberapa bilangan awalDiketahui bahwa (1 + 1/2)(1 + 1/3)(1 + 1/4)(1 + 1/5)(1 + 1/n) = 11 berapakah nilai n yang memenuhi ? a. sederhanakan bilangan yang di dalam kurung. b. amati pola perkalian beberapa bilangan awal. c. Dengan mengamati,tentukan nilai n yang memenuhi persamaan diatas Diketahuibahwa ab 6 1 2 bc 7 cd 35 2 3 de 4 2 3 ea 2 Tentukan nilai a b c d from MATH MISC at SMAN 1 Malang Diketahui a = 1. r = 2. Ditanya: Jawab: = 16. Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 16. Contoh Soal 2. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah Pembahasan: Diketahui: a = 3 Ditanya: Jawab: . MatematikaALJABAR Kelas 10 SMASkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorOperasi Hitung VektorDiketahui bahwa a=1 2 -3, b=4 4 m, dan c=3 -4 5 . Jika a tegak lurus b , maka hasil dari a+2 b-c=.Operasi Hitung VektorSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0334Diketahui A1,2,3, B3,3,1 , dan C7,5,-3 . Jika A...0342Diberikan titik A3,-5,-4, B6,-1,3 dan C12, n, m. Ji...0329Diketahui titik A3,-2,-1, B1,-2,1, dan C7,p-1,-5 se...0309Diketahui P,Q, dan R adalah titik dalam ruang. Jika PQ=2... Ayo, persiapkan dirimu sejak dini dalam menghadapi UTBK 2021! Lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA. — Sudah mengikuti tyout UTBK 1 dari ruanguji? Nah, masih penasaran mengenai pembahasan soal-soalnya? Yuk, lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA berikut ini. Jangan lupa untuk mempelajari lagi materi yang belum kamu kuasai ya. 1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …. Pembahasan Misalkan fx menyatakan total biaya produksi x unit barang, g x menyatakan harga jual x unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan hx menyatakan kentungan yang diperoleh atas penjualan x unit barang, maka diperoleh hasil-hasil sebagai berikut. Agar maksimum, nilai turunan pertama hx harus bernilai 0. Maka Diperoleh x = -1 atau x = 2. Karena x menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif atau pecahan, sehingga x yang diambil adalah x = 2. Dilakukan substitusi x = 2 ke hx, didapat Maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Jadi, jawabannya adalah B. 2. Sebuah balok memiliki panjang rusuk AB = 6 dan BC = CG = 4. Jika titik P terletak di tengah rusuk AB dan θ adalah sudut antara EP dan PG, maka nilai cosθ adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa Sehingga Jadi, jawabannya adalah E. 3. Himpunan bilangan real x pada selang yang memenuhi memiliki bentuk Nilai dari adalah …. Pembahasan Perhatikan bahwa Pembuat nolnya adalah Maka didapat nilai-nilai x yang memenuhi adalah Didapat garis bilangannya sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka didapat solusinya adalah Sehingga intervalnya adalah Akibatnya, Jadi, jawabannya adalahA. 4. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut B adalah 1050 dan sudut A adalah 150. Jika panjang AC adalah 5, maka panjang BC adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Dari gambar tersebut, didapat Dengan menggunakan aturan sinus, Jadi, jawabannya adalah E. 5. Diketahui vektor-vektor dan . Jika maka interval x yang memenuhi adalah …. Pembahasan Dari soal diketahui bahwa Maka Kemudian, karena , maka sehingga Lalu perhatikan bahwa dan juga Karena Sehingga didapat Pembuat nol dari bentuk di ruas kiri adalah Didapat garis bilangan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka solusinya adalah Namun, karena pada soaldiketahui maka diambil irisannya, yaitu Sehingga, interval x yang memenuhi adalah Jadi, jawabannya adalah B. 6. 25 26 27 576 676 Pembahasan Dengan menggunakan sifat-sifat pada eksponen, diperoleh sehingga Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 7. Diketahui sistem persamaan Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai m yangmungkin adalah …. – 32 – 20 – 16 – 8 – 4 Pembahasan Penyelesaian sistem persamaan pada soal dapat diselesaikan sebagai berikut. Karena sistem persamaan di atas meiliki tepat satu penyelesaian, maka nilai Sehingga Maka jumlah semua nilai m adalah -8. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 8. – 2 – 6 0 2 6 Pembahasan Ingat kembali beberapa sifat yang berlaku pada integral, yaitu Dengan menggunakan kedua sifat tersebut, diperoleh Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 9. Pembahasan Perhatikan bahwa Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 10. Jika digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y , bayangannya menjadi Nilai dari 3ab adalah …. – 15 – 12 – 10 – 6 0 Pembahasan Garis digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, maka sehingga dan Dengan substitusi dan ke , maka bayangan garis hasil pergeseran diatas adalah Kemudian garis tersebut dicerminkan terhadap sumbu-y, maka Dengan substitusi ke , maka hasil pencerminan garis terhadap sumbu-y adalah Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 11. Diketahui sistem persamaan berikut. Jika maka nilai dari adalah …. Pembahasan Kita tuliskan dua persamaan yang ada pada soal, yaitu sebagai berikut. dan Eliminasi dengan cara berikut. Oleh karena itu, didapat nilai sebagai berikut. Dengan demikian, nilai dari adalah sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 12. Sebuah lingkaran memiliki pusat p, q dengan jari-jari 12, dan menyinggung garis Nilai yang mungkin adalah …. Pembahasan Diketahui bahwa suatu lingkaran memiliki pusat p, q, jari-jari 12, dan menyinggung garis . Oleh karena itu, didapat sebagai berikut. Kemudian, garis dapat dituliskan sebagai Didapat nilai a, b, dan c sebagai berikut. a = 5 b = 12 c = – 13 Selanjutnya, dapat diperhatikan perhitungan di bawah ini. Terdapat dua kemungkinan yaitu Kemungkinan pertama Kemungkinan kedua Dengan demikian, nilai yang mungkin adalah -143 dan 169. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 13. Suku banyak habis dibagi dan dibagi bersisa 20. Nilai ab adalah …. – 16 – 4 4 8 16 Pembahasan Dapat diperhatikan pembagian polinomial berikut ini. Oleh karena itu, didapat persamaan berikut. Kemudian, diketahui bahwa Oleh karena itu, substitusi dan Dikarenakan . Akibatnya, diperoleh nilai ab sebagai berikut. Dengan demikian, nilai ab = 16. Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 14. Seorang berkendara dengan kecepatan 100 km/jam selama satu jam pertama. Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperlimanya. Demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah … km. 150 125 100 75 50 Pembahasan Dapat diperhatikan bahwa jarak yang ditempuh oleh seseorang pada jam pertama adalah 100 km. Kemudian, diketahui bahwa kecepatannya berkurang pada jam kedua. Akibatnya, jarak yang ditempuh orang tersebut pada jam kedua adalah Begitupun seterusnya sehingga jarak yang ditempuh orang tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Jarak yang ditempuh oleh seseorang tersebut membentuk deret geometri tak hingga dengan a = 100 dan r = sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. Oleh karena itu, jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah 125 km. Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 15. Garis dirotasi searah jarum jam sebesar 1800 terhadap titik asal. Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan sehingga bayangannya menjadi . Nilai adalah …. Pembahasan Ingat bahwa jika suatu benda dirotasi sebesar searah jarum jam, maka sudut rotasinya diberi tanda negatif, sehingga menjadi Diketahui bahwa garis dirotasi sebesar 1800 searah jarum jam terhadap titik asal, maka bayangannya adalah sebagai berikut. Oleh karena itu, didapat nilai x dan y sebagai berikut. Akibatnya, garis menjadi Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan atau dapat dituliskan sebagai Didapat nilai x dan y berikut ini Akibatnya, garis menjadi Diketahui pada soal bahwa sama dengan Didapat dan Oleh karena itu, nilai dapat dihitung dengan cara sebagai berikut Dengan demikian, nilai Jadi, jawaban yang tepat adalah A. 16. maka nilai dari adalah …. Pembahasan Diketahui maka didapat Selanjutnya diketahui maka didapat Sehingga didapat Oleh karena itu didapat Dengan demikian, nilai dari adalah 0. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 17. Misalkan fungsi f memenuhi untuk setiap Jika maka nilai dari adalah …. – 3 3 – 5 6 – 6 Pembahasan Ingat bahwa Jika f periodik dengan periode p, maka Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga Karena periodik dengan periode 4. Sehingga berlaku Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka Dengan demikian, nilai dari adalah 6. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 18. Dari angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari 3 digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah …. 30 20 12 9 8 Pembahasan Diketahui angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9. Misalkan bilangan yang akan dibentuk adalah a1a2a3. a1 adalah angka yang menempati ratusan, a2 adalah angka yang menempati puluhan, dan a3 adalah angka yang menempati satuan. Karena akan dibentuk bilangan genap, maka banyak angka yang menempati satuan yaitu a3 ada 3 angka 4, 6, 8 Kemudian bilangan yang dibentuk nilainya kurang dari 400, maka banyak angka yang menempati ratusan yaitu a1 ada 1 angka 1 Selanjutnya perhatikan bahwa bilangan terdiri dari 3 digit berbeda, maka banyak angka yang menempati puluhan yaitu a2 ada 4 angka yang tersisa Sehingga didapat Dengan demikian, banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah 12. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 19. Diketahui barisan aritmetika dengan Uk menyatakan suku ke-k. Jika Uk+2 = U2 + kU17 – 3, maka U1+U13 +U19+U35= …. Pembahasan Perhatikan bahwa Sehingga didapatkan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 20. Suku banyak dibagi bersisa Nilai dari adalah …. 32 48 – 26 – 48 – 52 Pembahasan Perhatikan bahwa Selanjutnya perhatikan pembagian berikut ini. Diketahui maka Sehingga didapatkan dan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah A. UTBK memang masih akan dilaksanakan tahun depan, tapi nggak ada salahnya untuk kamu mencuri start dan mulai mempersiapkan diri sejak dini. Mau mengukur kemampuanmu dalam mengerjakan soal-soal UTBK? Tunggu tryout UTBK Episode 2 dari ruanguji! Subscribe!Klik di sini untuk berlangganan artikel melalui Telegram. Misalkan dan adalah ruang vektor. Berdasarkan definisi, keduanya merupakan himpunan tak kosong, sehingga kita bisa membentuk sebuah pemetaan fungsi dengan domain dan kodomain atau sebaliknya. Sebuah pemetaan dari ke disebut transformasi linear jika memenuhi syarat tertentu. Apa syaratnya? Simak baik-baik isi tulisan ini. Definisi Transformasi Linear Definisi Misalkan dan adalah ruang vektor. Pemetaan disebut transformasi linear jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan . Lebih khusus, jika maka disebut operator linear. Operasi penjumlahan vektor pada dan mungkin berbeda, sehingga kita perlu memperhatikan vektor yang dijumlahkan. Perhatikan syarat pertama pada definisi transformasi linear. Vektor dan dipandang sebagai anggota , sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada . Adapun dan dipandang sebagai anggota , sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada . Hal yang sama berlaku pada operasi perkalian skalar. Soal dan PembahasanNomor 1Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear, maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $\textbf{0} = 0\textbf{u}$, maka $$T\textbf{0} = T0\textbf{u} = 0T\textbf{u} = \textbf{0}$$ 2Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear dan , maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $-\textbf{u} = -1\textbf{u}$, maka $$T-\textbf{u} = T-1\textbf{u} = -1T\textbf{u} = -T\textbf{u}$$ 3Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear dan , maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Karena $\textbf{u}-\textbf{v} = \textbf{u}+-\textbf{v}$, maka $$\begin{aligned} T\textbf{u}-\textbf{v} &= T\textbf{u}+-\textbf{v} \\ &= T\textbf{u} + T-\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}+-T\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}-T\textbf{v} \end{aligned}$$ 4Misalkan dan adalah ruang vektor dan adalah vektor nol. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T\textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{0} = \textbf{0} + \textbf{0} = T\textbf{u}+T\textbf{v} \\ &Tk\textbf{u} = \textbf{0} = k\textbf{0} = k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 5Misalkan adalah ruang vektor. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} = \textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} = T\textbf{u}+T\textbf{v} \\ &T\textcolor{blue}{k\textbf{u}} = \textcolor{blue}{k\textbf{u}} = k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 6Misalkan adalah ruang vektor dan suatu skalar. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{u} + \textbf{v} &= m\textbf{u} + \textbf{v} \\ &= m\textbf{u} + m\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}+T\textbf{v} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{u} &= mk\textbf{u} \\ &= mk \textbf{u} \\ &= km \textbf{u} \\ &= km\textbf{u} \\ &= kT\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 7Misalkan adalah polinom dalam . Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{p}_1,\textbf{p}_2 \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 &= Tp_1x + p_2x \\ &= xp_1x + p_2x \\ &= xp_1x + xp_2x \\ &= Tp_1x + Tp_2x \\ &= T\textbf{p}_1+T\textbf{p}_2 \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{p} &= Tkp_1x \\ &= xkp_1x \\ &= kxp_1x \\ &= kTp_1x \\ &= kT\textbf{p}_1 \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 8Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $A,B \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{A+B} &= \textcolor{blue}{A+B} + \textcolor{blue}{A+B}^T \\ &= A+B + A^T+B^T \\ &= A+A^T + B+B^T \\ &= TA + TB \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} T\textcolor{green}{kA} &= \textcolor{green}{kA} + \textcolor{green}{kA}^T \\ &= kA + kA^T \\ &= kA+A^T \\ &= kTA \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 9Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $k$ adalah skalar dan $A,B \in M_{2 \times 2}$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}, \;B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}$$Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &A+B = \begin{bmatrix}a_1+b_1&a_2+b_2\\a_3+b_3&a_4+b_4\end{bmatrix} &kA = \begin{bmatrix}ka_1&ka_2\\ka_3&ka_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Sehingga $$\begin{aligned} TA+B &= \text{tr}A+B \\ &= a_1+b_1+a_4+b_4 \\ &= a_1+a_4+b_1+b_4 \\ &= \text{tr}A+\text{tr}B \\ &= TA+TB \end{aligned}$$ dan $$\begin{aligned} TkA &= \text{tr}kA \\ &= ka_1+ka_4 \\ &= ka_1+a_4 \\ &= k \ \text{tr}A \\ &= kTA \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 10Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi Misalkan $k$ adalah skalar dan $A \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$T\textcolor{blue}{kA}=\textcolor{blue}{kA}^2=k^2A^2$$ dan $$kTA = kA^2$$ Jika $A$ adalah matriks nol maka keduanya bernilai sama. Namun, jika $A$ bukan matriks nol, keduanya bernilai sama hanya jika $k=0$ atau $1$. Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih matriks identitas dan $k=2$. Terdapat skalar $k=2$ dan $\textbf{I} \in M_{2 \times 2}$ sedemikian sehingga $$Tk \textbf{I} = T2 \textbf{I} = 2\textbf{I}^2 = 4 \textbf{I}^2=4\textbf{I}$$ tetapi $$kT\textbf{I} = 2T\textbf{I}=2 \textbf{I}^2=2\textbf{I}$$ Karena $Tk \textbf{I} \neq kT\textbf{I}$, maka $T$ bukan transformasi 11Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{u} \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$Tk\textbf{u}=\ k\textbf{u} \ = k \cdot \ \textbf{u} \$$ dan $$kT\textbf{u} = k \cdot \ \textbf{u} \$$ Jika $\textbf{u}$ bukan vektor nol, maka keduanya bernilai sama hanya jika $k \geq 0$. Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih vektor $\textbf{u}=1,0,0$ dan skalar $k=-1$. Terdapat skalar $k=-1$ dan $\textbf{u}=1,0,0 \in \mathbb{R}^3$ sedemikian sehingga $$Tk\textbf{u} = T-1,0,0 = \ -1,0,0 \ = 1$$ tetapi $$kT\textbf{u} = -1 \cdot T1,0,0 = -1 \cdot 1 = -1$$ Karena $TkA \neq kTA$, maka $T$ bukan transformasi 12Misalkan adalah suatu vektor dalam . Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} &= \textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} \textbf{w} \\ &= \textbf{u} \times \textbf{w} + \textbf{v} \times \textbf{w} \\ &= T\textbf{u}+T\textbf{v} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{k\textbf{u}} &= \textcolor{blue}{k\textbf{u}} \times \textbf{w} \\ &= k\textbf{u} \times \textbf{w} \\ &= k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 13Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $k$ adalah skalar dan $\textbf{p},\textbf{q} \in P_3$, dengan $$\begin{aligned} \textbf{p} &= px = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\ \textbf{q} &= qx = b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \end{aligned}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{p}+\textbf{q} &= Tpx+qx \\ &= T[\textcolor{blue}{a_0+b_0}]+[a_1+b_1]x+[a_2+b_2]x^2+[\textcolor{green}{a_3+b_3}]x^3 \\ &= 5\textcolor{blue}{a_0+b_0} + \textcolor{green}{a_3+b_3} x^2 \\ &= 5a_0+5b_0 + a_3x^2+b_3x^2 \\ &= 5a_0+a_3x^2 + 5b_0+b_3x^2 \\ &= Ta_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 + Tb_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \\ &= Tpx + Tqx \\ &= T\textbf{p} + T\textbf{q} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{p} &= Tkpx \\ &= T\textcolor{blue}{ka_0}+ka_1x+ka_2x^2+\textcolor{green}{ka_3}x^3 \\ &= 5 \textcolor{blue}{ka_0} + \textcolor{green}{ka_3} x^3 \\ &= k5a_0+a_3x^2 \\ &= kTa_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\ &= kTpx \\ &= kT\textbf{p} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 14Himpunan adalah basis dari , dengan dan . Misalkan adalah transformasi linear yang memenuhi Temukan formula untuk , lalu gunakan formula tersebut untuk menentukan PembahasanPertama, kita perlu menyatakan $x_1,x_2$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$, yaitu $$x_1,x_2 = k_11,0 + k_2-2,1 = k_1-2k_2,k_2$$ untuk suatu skalar $k_1$ dan $k_2$. Berdasarkan kesamaan dua vektor pada $\mathbb{R}^2$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\-\&2k_2 \=\ &x_1 \\ &&k_2 \=\ &x_2 \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai solusi $k_1=x_1+2x_2$, $k_2=x_2$ Periksa!. Akibatnya $$\begin{aligned} Tx_1,x_2 &= Tk_1\textbf{v}_1 + k_2\textbf{v}_2 \\ &= \textcolor{blue}{k_1} T\textbf{v}_1 + \textcolor{green}{k_2} T\textbf{v}_2 \\ &= \textcolor{blue}{x_1+2x_2} 3,0,2 + \textcolor{green}{x_2} -1,2,-4 \\ &= 3x_1+6x_2,0,2x_1+4x_2 + -x_2,2x_2,-4x_2 \\ &= 3x_1+5x_2,2x_2,2x_1 \end{aligned}$$ Dengan demikian, nilai dari $T-3,2$ adalah $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{-3},\textcolor{green}{2} &= 3\textcolor{blue}{-3} + 5 \cdot \textcolor{green}{2}, 2 \cdot \textcolor{green}{2}, 2\textcolor{blue}{-3} \\ &= -9+10,4,-6 \\ &= 1,4,-6 \end{aligned}$$ Ayah+Ibu= kamu anakjadi 1 keluaga yg terdiri dari 3 orang, yaitu Ayah, Ibu, dan anak Jawabanayah+ibu=kamuanak Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian – Induksi matematika merupakan materi ilmu matematika yang paling sering dijumpai, apalagi kalau menempuh pendidikan di jurusan IPA. Ini merupakan perluasan dari logika matematika. Meskipun terlihat sederhana, namun sebenarnya membutuhkan kecermatan tersendiri. Untuk itu, perlu memahami contoh soal induksi matematika dan jawabanya. Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah. Ini melibatkan proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan tertentu berdasarkan kebenaran apa yang berlaku secara umum. Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Daftar IsiMengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Daftar Isi Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Bagi pecinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan yang namanya induksi matematika. Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah. Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif. Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika. Pecinta matematika memakai induksi matematika guna memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya. Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum yakni asumsi induktif serta induksi dasar. Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana. Agar bisa memahami induksi matematika dengan baik, maka sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya lengkap. Sejarah Induksi Matematika Tahukah Anda bahwa induksi matematikan sudah ada sejak lama. Induksi matematika bermula pada akhir dari abad ke 19 yang juga dipelopori oleh dua orang matematikawa bernama Dedikind dan R. Dedekind. Kedua tokoh tersebut tengah mengembangkan sekumpulan aksioma yang mampu menggambarkan bentuk bilangan yaitu bilangan positif. Peano memperbaiki bagian aksioma tersebut serta memberikannya interpretasi yang jauh lebih logis. Kemudian, semua aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano dan ditemukan sekitar tahun 1890an. Lalu, ini disebut sebagai rumusan formula bagi konsep bilangan asli. Sejumlah hukum atau ketentuan Postulat Peano diantaranya 1 merupakan anggota N. Tiap-tiap anggota x N memiliki prinsip pengikut yakni px ∈N. Dua bentuk bilangan di N yang memiliki perbedaan juga memiliki pengikut berbeda. 1 bukan menjadi pengikut dari bilangan x N manapun. Apabila subhimpunan S C N memuat 1 bagian dan pengikut lainnya dari setiap bilangan di S, maka S – N. Ini sudah pasti dan tidak terelakan lagi. Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli. Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. Langkah Basis Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika. Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. Langkah Induksi Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. Prinsip Induksi Matematika Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu. Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, diantaranya seperti berikut. Basis = tunjukkan p1 adalah benar. Induksi = misalnya pn adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1 Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p n adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesi induksi. Kesimpulan = pembuktian bahwa p n+1 adalah benar. Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal. Soal 1 Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya Langkah Pertama 321 + 221+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti. Langkah Kedua Menggunakan 2 n = k 32k + 22k + 2 Langkah Ketiga = k + 1 = 32k+1 + 222k+2 = 32k+2 + 22k+2+2 = 3232k + 2222k+2 = 1032k + 522k+2 – 32k – 22k+2 = 10 32k + 5 22k+2 – 32k + 22k+2 Diperoleh 10 32k sudah habis dibagi 5, 522k+2 sudah habis dibagi 5 dan –32k + 22k+2 juga habis dibagi 5. Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1 Jika pn benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa pn+1 juga benar 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 – 1 + 2n+1 hipotesis induksi. = 2n+1 + 2n+1 – 1 = – 1 = 2n+2 – 1 = 2n+1+1 – 1 Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Soal 2 Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1. Terapkan induksi dengan mengandaikan pn benar, yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2 Selanjutnya, perlihatkan bahwa p n+1 juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = n + 12 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut. 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + … + 2n – 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Soal 3 Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Pn = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Maka akan mampu menujukkan Pn benar untuk tiap-tiap n N. Langkah Pertama Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p1 adalah benar 1 = 12. Jadi, p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika Pk adalah benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2, k N 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 – 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa pn adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. Soal 4 Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N. Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. Langkah Awal Langkah ini akan menunjukkan jika p1 adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja pk adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan pk + 1 adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5. 6k+1 + 4 = 66k + 4 6k+1 + 4 = 56k + 6k + 4 Jika 56k telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 56k + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, pk + 1 adalah benar. Soal 5 Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. Langkah Awal n = 1 12 = 1/6 1 1 + 1 1 + 2 1 = 1 adalah benar terbukti. Langkah Induksi n = k 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2 juga adalah benar. Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya. Contoh soal induksi matematika dan jawabannya tersebut kiranya bisa membuat Anda jauh lebih memahami tentang ilmu sains ini. Apalagi jika Anda langsung mempraktikannya. Dijamin, ilmunya akan selalu melekat di kepala. Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu Kost Dekat UGM Jogja Kost Dekat UNPAD Jatinangor Kost Dekat UNDIP Semarang Kost Dekat UI Depok Kost Dekat UB Malang Kost Dekat Unnes Semarang Kost Dekat UMY Jogja Kost Dekat UNY Jogja Kost Dekat UNS Solo Kost Dekat ITB Bandung Kost Dekat UMS Solo Kost Dekat ITS Surabaya Kost Dekat Unesa Surabaya Kost Dekat UNAIR Surabaya Kost Dekat UIN Jakarta

diketahui bahwa 1 1 3